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数式表示テスト(今年のNobel prizeを出しにして)

手始めに何か面白いメモないかな、と探してみたけど、すごい中途半端か、既にpdfとしてまとめてしまってる、のどちらかで案外見つからない。とりあえずブログサービスでここを使う大きなきっかけが、texが有効である事(MathJaxを使用しているらしい、おそらくWikipediaと同じかな)だったので、数式の表示テストをかねて、以下今年のNobel物理学賞について二言三言書いてみます。

今年はKosterlitz氏、Thouless氏とHaldane氏の3名の方が受賞されました。私の狭いかつうる覚えの知識では、Kosterlitz氏(スペル見ないと書けない)がThouless氏と共同で現在KT転移と呼ばれるものを提唱(そして受賞理由が多分これ)、Thouless氏は量子Hall系でのThouless pumpと呼ばれる思考実験を提唱、Haldane氏は1次元Heisenberg模型における、spinの整数、半整数性とギャップや相(phase)の関係の研究で有名です。

1次元XXX Heiseberg模型は以下の格子スピン系Hamiltonian
 {\displaystyle  \mathcal{H}=J \sum_{i} \hat{S}_i \cdot \hat{S}_{i+1} }
で表せる。J<0の時は強磁性相にあり、少なくとも{S=\dfrac{1}{2}}の時はBethe ansatzなどによりその基底状態が調べられている。一方で、J>0の時は次のHaldane予想と呼ばれる予想が存在する:

Sが半整数の時、gaplessの基底状態、Sが整数の時、gappedの基底状態にある。

特に係数をfine tuningした2次の補正項 {\dfrac{J}{3}(\hat{S}_i \cdot \hat{S}_{i+1})^2}を入れたものをAKLT Hamiltonian (Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki 1987)と言い、この場合、整数スピンの基底状態が厳密に書き下せる。(MPS表示だと2X2行列になったはず。)
※さらに高次の補正項を入れて同様の議論が成り立つ。(はず)
多分この仕事により、1次元spin系の厳密な解析が発展し、近年のSPT相の研究などにつながったのだと理解している。(もちろん2次元共形場理論によるアプローチも重要であったが)

 

追記の個人的メモ:

・"J>0"などの短い数式に毎回 ... と書くのは少し面倒

・脚注的なものの付け方

・更新前に数式のチェック